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[活動]無限小：一個危險的數學理論如何形塑現代世界-網路熱賣

本書導覽：

無限的矛盾，無限的力量

◎文／賴以威（長庚大學電子工程學系助理教授與數學作家）

　　「我把這扇門掩上一半，再掩剩下的一半，不斷重複下去，這扇門也永遠不會被關上。」

　　國中時，老師站在教室前門旁解釋無限的概念。

　　對現在的我來說這不難回答——

　　「不對，造成永遠的錯覺是『會重複無限次的掩門』，但到後來每次掩門的幅度都是無限小，門最終還是會被關上。」

　　但我永遠記得當時對老師的這項譬喻有多麼困擾，順著老師的邏輯，彷彿可以看到門就算被關上了，依然存在一道微微的縫隙。在那之前的數學課儘管複雜，可是只要遵循規則，按部就班就能理解。直到無限的出現，是第一次我覺得數學課裡也有「無法理解，只好先記起來」的觀念。

　　現在，儘管能破解無限的矛盾，能解釋阿基里斯為什麼能追上烏龜，能知道一尺之棰，日取其半，必然有取完的那天。但那樣的理解就好像回答「為什麼天空是藍色的？」、「因為空氣折射的緣故。」

　　只是拿了一個名詞、一套道理來解釋，並沒有真正理解背後的原因。甚至可以說，是因為相處久了，在課本、考卷裡面出現夠多次，就習以為常，覺得無限的概念是理所當然了。

　　不是的，無限小一點都不理所當然，他是個在歷經了上百年激辯後，才正式被引入的數學概念，背後還牽扯了超出數學之外的宗教、政治糾葛。

　　本書從馬丁．路德的宗教改革開始，當時羅馬教廷勢力衰退，作為教廷忠誠部屬的耶穌會趁勢興起。以菁英份子組成的耶穌會在各地辦學，他們推崇階級與秩序。在克里斯多佛．克拉維烏斯（ChristopherClavius）的努力下，服膺於邏輯性的數學地位逐漸提高，作為耶穌會宣揚紀律性的強而有力工具。握有數學知識，他們便能宣稱握有真理。數學也沒辜負他們的期待。

　　曆法過時一直是古人面臨的問題，西元500年左右，中國有祖沖之與祖恆父子兩代努力，推行大明曆。西元1700年左右，日本有澀川春海改良中國曆法，製成大和曆。曆法的制定需要豐富的天文、量測以及不可或缺的數學知識。不論是祖氏父子或是澀川春海都是一時的數學名家。在西方，則由耶穌會的克里斯多佛．克拉維烏斯領銜，協助教廷制定了全新的格里高里曆法。這套曆法相? ?精確，逼得歐洲各地儘管已經因為宗教改革而與教廷漸行漸遠，甚至反對教廷，但還是得乖乖接受格里高里曆法，變相承認了頒布曆法的教宗權威性。

　　數學可以強行讓人接受真理，並擊潰謬誤，建立起取代混亂與困惑的穩固秩序與確定性。

　　耶穌會以數學做武器，在宗教改革上打了一場漂亮勝仗，從此也更重視數學。正確地說，他們認為數學是個最好的例子，代表一切都該從定理出發，現實生活中的每件事都必須遵循一定的規則。數學提供了一個完美的理性模型，讓人們看清宇宙真理是如何統治世界。

　　然而，當時的數學世界裡尚未存在能夠解釋無窮小的定理，但數學家們已經從愈來愈多的地方發現這個無可迴避的概念。於是，數學家想從現實生活的觀察，反過來歸納出一個新的定理。推崇數學的耶? ??會卻毫不猶豫地站到了打壓新知的那側。

　　從不同教派的宗教之爭，在一方執起數學獲得勝利後，手中的數學卻反噬主人，展開了另一場數學之爭。

　　許多耳熟能詳的科學家、數學家都參加了這場數學之爭，被尊為現代科學之父的伽利略（GalileoGalilei）帶領他的兩位徒弟卡瓦列里（BonaventuraCavalieri）與托里切利（EvangelistaTorricelli），前仆後繼地提出對無限小、不可分量的詮釋。課本裡的托里切利是以發明了氣壓計而聞名，在這本書裡我們看到了他另一個偉大的貢獻，他發表了一篇「拋物線面積（Dedimensioneparabola）」，裡面極其華麗地用上了21種不同方式去證明拋物線與一條直線相夾的面積，其中有10種用上了不可分量的概念。這篇論文的重點根本不在拋物線面積，而是在介紹不可分量、無限小。

　　儘管數學家看到了無? ??小的廣泛用途（有一半以上的證明需要靠引入無限小的概念才能完成），但耶穌會堅決反對。他們設立了「總校訂（RevisorsGeneral）」這個最高地位的學術審查機構，扮演著類似那個時代的「金盾」腳色，把所有對教會帶來混亂與不安的知識排除在耶穌會主導的教育機構之外，無限小是數學界的新概念，他甚至推翻了一些傳統幾何的想法；從這個角度來看，他就像數學界的宗教改革，耶穌會無論如何都要將他的聲浪壓下來。

　　這次對決中，耶穌會佔了上風，哪怕面對的是伽利略與銳眼協會（L'AccademiaNazionaledeiLincei，現今的義大利國家科學院），那個時代最強的宗教團體成功地馴服了數學，讓數學依然作為宗教秩序而存在。

　　然而，如果把格局拉大，這場數學的戰爭還沒結束，只是換了一個戰場，到英國重新開始。在差不多的時? ??，英國也上演了一場關於無限